1 复数
这一章我们主要介绍复数的概念、复数域、复数的几何意义、复数的运算法则等。
1.1 复数
这里是quarto的各种环境的演示：
定义 1.1 （复数域）
复数域 \(\cc\) 定义为有序实数对 \((a,b)\) 的集合，配备加法
\[(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \tag{1.1}\] 与乘法
\[(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc). \tag{1.2}\]
上述 定义 1.1 是标准的。
证明. 回忆 域 的定义，验证上述运算满足所有域的性质。留作习题。
推论 1.1 复数域 \(\mathbb{C}\) 中非零元素均可逆。
例 1.1 由(1.2),计算 \((2+3i)(-1-4i)=(2-3i)(-1+4i)=-10+13i\)。
例 1.2 由 推论 1.1,计算复数的逆元 \((2+3i)^{-1}=2-3i\)。
练习 1.1 验证 \((2+3i)^{-1}=2-3i\)。
1.2 复平面的拓扑
Mobius变换在一点处无定义，我们可以扩大复数域来补充定义。
定义 \(\hat{\cc}\deff\cc\cup\left\{ \infty\right\}\)， 其中\(\infty\)是一个假想的无穷远点。
Cayley 变换 \(\chi(z)=\frac{z-\ii}{z+\ii}\) 可以补充定义 \[ \chi(-\ii)=\infty,\ \chi(\infty)=1 \] 后成为 \(\hat{\cc}\) 到自身的双射。
黎曼发现可以用二维球面 \[
S^{2}=\left\{ \left(x,y,z\right)\in\rr^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}
\]
作为\(\hat{\cc}\)的几何模型。
<展示课件：球极投影>
还有一种几何模型：复射影直线 \[
\mathbb{P}^{1}=\left\{ \cc^{2}\text{中过原点的直线}\right\} =\left(\cc^{2}\backslash\left(0,0\right)\right)/\sim
\]
其中等价关系\(\text{～}\)为向量相差一个数乘。用\([z:w]\)表示向量\(\left(z,w\right)\)生成的直线，那么有 \[
[z:w]=[\lambda z:\lambda w],\ \forall\lambda\in\cc^{*}.
\] 若\(w\neq0\)，有\([z:w]=\left[z/w:1\right]\); 当\(w=0\)，则\([z:0]=[1:0]\)。于是我们有双射 \[
\mathbb{P}^{1}=\left\{ [z:1]\mid z\in\cc\right\} \cup\left\{ [1:0]\right\} \stackrel{\mathrm{1-1}}{\longrightarrow}\cc\cup\left\{ \infty\right\} =\hat{\cc}.
\]
Mobius变换在\(\mathbb{P}^{1}\)上表现为线性变换： \[ \left[\begin{array}{c} z\\ w \end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} z\\ w \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} az+bw\\ cz+dw \end{array}\right]. \] 其对应到\(\hat{\cc}\)上的Mobius变换 \[ z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}. \]
1.3 习题
这里是第一章的习题。